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\"yGQ!F)" 1 2 0 1 10 0 2 1 1 2 2 1.000000 62.000000 46.000000 0 0 "Cur ve 1" "Curve 2" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "solve(z \+ = 25 - 2^2 - y^2,\{z\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#<#/%\"zG,& \"#@\"\"\"*$)%\"yG\"\"#F(!\"\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 " Plot the intersection, which is a \+ parabola in the " }{TEXT 340 5 "x-y " }{TEXT -1 61 "plane, opening d own, with vertex 21. Verify this as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "plot( 25 - 2 ^2 - y^2, y = -5..5);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 155 135 135 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7S7$$!\"&\"\"!$!\"%F*7$$!1LLLe%G?y%!#:$!1x) 4j<'zn=F07$$!1mmT&esBf%F0$!1=blGjf))*)!#<7$$!1LL$3s%3zVF0$\"1\\Sw2qhB= F07$$!1ML$e/$QkTF0$\"1()edZQ\"zl$F07$$!1nmT5=q]RF0$\"1s/<0_&>R&F07$$!1 LL3_>f_PF0$\"1)Rf6k`!=pF07$$!1++vo1YZNF0$\"1+=n.G_:%)F07$$!1LL3-OJNLF0 $\"1,zvvJov)*F07$$!1++v$*o%Q7$F0$\"1[3We!eT7\"!#97$$!1mmm\"RFj!HF0$\"1 .[C4hKb7Ffn7$$!1LL$e4OZr#F0$\"1fz*Hz?IO\"Ffn7$$!1+++v'\\!*\\#F0$\"1S#) =s]Zv9Ffn7$$!1+++DwZ#G#F0$\"1Ou8*eH!z:Ffn7$$!1+++D.xt?F0$\"1S\\\"RmZ*p ;Ffn7$$!1LL3-TC%)=F0$\"1Ffn7$ $!1nmm;1J\\5F0$\"1i](Hs%*)*)>Ffn7$$!1$***\\(=[jL)!#;$\"1mn*))H00.#Ffn7 $$!1'***\\iXg#G'F\\r$\"1a7\"*z)G01#Ffn7$$!1emmT&Q(RTF\\r$\"1Sm![ciG3#F fn7$$!1lm;/'=><#F\\r$\"1vodpFG&4#Ffn7$$!1EMLLe*e$\\!#=$\"1KKpjv***4#Ff n7$$\"1sm;zRQb@F\\r$\"1_B!*>VN&4#Ffn7$$\"1-+](=>Y2%F\\r$\"1doZyuR$3#Ff n7$$\"1vmm\"zXu9'F\\r$\"1?&Q-\"*3A1#Ffn7$$\"1,+++&y))G)F\\r$\"1QA@$\\% HJ?Ffn7$$\"1++]i_QQ5F0$\"1!GiYgv@*>Ffn7$$\"1,+D\"y%3T7F0$\"1k\\dc3(f%> Ffn7$$\"1++]P![hY\"F0$\"1!\\8K*4/&)=Ffn7$$\"1LLL$Qx$o;F0$\"1#=y1p^;#=F fn7$$\"1+++v.I%)=F0$\"1'[x'47%\\u\"Ffn7$$\"1mm\"zpe*z?F0$\"1\"3'\\\"=x tm\"Ffn7$$\"1,++D\\'QH#F0$\"1uaeq$=Qd\"Ffn7$$\"1LLe9S8&\\#F0$\"1Ep#\\i IuZ\"Ffn7$$\"1,+D1#=bq#F0$\"1y\\cBr,o8Ffn7$$\"1LLL3s?6HF0$\"1/[,fs[_7F fn7$$\"1++DJXaEJF0$\"1s5TH>ZA6Ffn7$$\"1ommm*RRL$F0$\"1gEm)HW[))*F07$$ \"1om;a<.YNF0$\"1j;W)zecU)F07$$\"1NLe9tOcPF0$\"1))*Hzf/(*)oF07$$\"1,++ ]Qk\\RF0$\"1qr:eMJ+aF07$$\"1NL$3dg6<%F0$\"1F`K#\\>9g$F07$$\"1ommmxGpVF 0$\"1.q07WK4>F07$$\"1++D\"oK0e%F0$\"1+&o+gN?(=F87$$\"1,+v=5s#y%F0$!1[I >V.Uu=F07$$\"\"&F*F+-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F*F*-%+AXESLABELSG6$Q \"y6\"%!G-%%VIEWG6$;F(Fhz%(DEFAULTG" 1 2 0 1 10 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 271 60 "(d) Computation using difference quotients and \+ using limits." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "The Maple package " }{TEXT 341 7 "student" }{TEXT -1 60 " is used to calculate the limits of difference quotients. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Note how the limits as " }{TEXT 342 1 "h" } {TEXT -1 17 "-> 0 are defined." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(student):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "f := (x, y) -> 25 - x^2 - y^2;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fGf*6$%\"xG%\"yG6\"6$%)operatorG%& arrowGF),(\"#D\"\"\"*$)9$\"\"#F/!\"\"*$)9%F3F/F4F)F)F)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "f[x](2,3);" "6#-&% \"fG6#%\"xG6$\"\"#\"\"$" }{TEXT -1 19 " is the slope at " }{TEXT 343 1 "x" }{TEXT -1 78 " = 2 of the tangent to the curve which is obta ined by intersecting the plane " }{TEXT 344 1 "y" }{TEXT -1 24 " = 3 \+ with the surface " }{TEXT 345 2 " z" }{TEXT -1 5 " = " }{TEXT 346 1 "f" }{TEXT -1 1 "(" }{TEXT 347 1 "x" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 348 1 " y" }{TEXT -1 17 ") . Similarly, " }{XPPEDIT 18 0 "f[y](2,3);" "6#-&% \"fG6#%\"yG6$\"\"#\"\"$" }{TEXT -1 18 " is the slope at " }{TEXT 349 2 "y " }{TEXT -1 63 "= 3 of the curve which is obtained by intersecti ng the plane " }{TEXT 350 1 "x" }{TEXT -1 25 " = 2 with the surface \+ " }{TEXT 351 1 "z" }{TEXT -1 5 " = " }{TEXT 352 1 "f" }{TEXT -1 1 "(" }{TEXT 353 1 "x" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 354 1 "y" }{TEXT -1 2 "). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "fx(2, 3) := limit((f(2 + h, 3)- f(2, 3))/h, h = 0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>-%#fxG6$\"\"#\"\"$!\"%" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "fy(2, 3) := limit((f(2, 3 + h)- f(2, 3))/h, \+ h = 0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>-%#fyG6$\"\"#\"\"$!\"'" }} }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "We can s ee that curve " }{TEXT 355 2 " z" }{TEXT -1 8 " = 16 - " }{XPPEDIT 18 0 "x^2;" "6#*$%\"xG\"\"#" }{TEXT -1 21 " is decreasing for " } {TEXT 282 1 "x" }{TEXT -1 21 " = 2 and the curve " }{TEXT 356 1 "z" }{TEXT -1 9 " = 25 - " }{XPPEDIT 18 0 "y^2;" "6#*$%\"yG\"\"#" }{TEXT -1 26 " is also decreasing at " }{TEXT 357 1 "y" }{TEXT -1 56 " = 3 . Hence the slopes (partial derivative values for " }{TEXT 358 1 "x " }{TEXT -1 7 " and " }{TEXT 359 1 "y" }{TEXT -1 37 ", respectively ) should be negative. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 281 39 "(e) Evaluating a partial \+ derivative by " }{TEXT 360 5 "Maple" }{TEXT 361 9 " directly" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 137 "To calculate u sing the partial derivative formula, find the derivative for a functio n of one variable keeping the other variable fixed. " }{TEXT 362 5 "M aple" }{TEXT -1 33 " uses the notation D[1](f) for " }{XPPEDIT 18 0 "f[x](x,y);" "6#-&%\"fG6#%\"xG6$F'%\"yG" }{TEXT -1 22 " and D[2](f) for " }{XPPEDIT 18 0 "f[y](x,y);" "6#-&%\"fG6#%\"yG6$%\"xGF'" } {TEXT -1 3 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "df1 := D[1](f); df2 := D[2](f);" }}{PARA 11 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$df1Gf*6$%\"xG%\"yG6\"6$%)operatorG%&arrowGF), $*&\"\"#\"\"\"9$F0!\"\"F)F)F)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$df 2Gf*6$%\"xG%\"yG6\"6$%)operatorG%&arrowGF),$*&\"\"#\"\"\"9%F0!\"\"F)F) F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Evaluate the partial deriva tives at (2, 3) as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "df1(2,3); df2(2, 3);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#!\"%" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#!\"'" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 261 18 " Solved Example 2 :" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "(a) Find an equation of a pla ne which has " }{XPPEDIT 18 0 "f[x](a,b);" "6#-&%\"fG6#%\"xG6$%\"aG% \"bG" }{TEXT -1 13 " < 0 and " }{XPPEDIT 18 0 "f[y](a,b);" "6#-&% \"fG6#%\"yG6$%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 7 " < 0. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "(b) Graph the plane in part (a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "(c) Plot the contour diagram of the plane in (a)." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "(d) Describe the contour diagram and the \+ slopes involved. " }}}}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 262 0 "" }{TEXT -1 10 " Solution:" }}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 272 31 "(a) Equation of a plane with " }{XPPEDIT 18 0 "f [x](a,b);" "6#-&%\"fG6#%\"xG6$%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 3 " < " }{TEXT 364 1 "0" }{TEXT 363 9 " and " }{XPPEDIT 18 0 "f[y](a,b);" "6#-&% \"fG6#%\"yG6$%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 3 " < " }{TEXT 365 1 "0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 " An equation of a plane is given by: z = \+ " }{XPPEDIT 18 0 "f[1];" "6#&%\"fG6#\"\"\"" }{TEXT 366 1 "x" }{TEXT -1 5 " + " }{XPPEDIT 18 0 "f[2];" "6#&%\"fG6#\"\"#" }{TEXT 367 2 " y " }{TEXT -1 5 " + " }{TEXT 368 1 "c" }{TEXT -1 9 ", where " } {XPPEDIT 18 0 "f[1];" "6#&%\"fG6#\"\"\"" }{TEXT -1 31 " is the partia l derivative of " }{TEXT 369 3 " f" }{TEXT -1 19 " with respect to \+ " }{TEXT 370 1 "x" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 " and " } {XPPEDIT 18 0 "f[2];" "6#&%\"fG6#\"\"#" }{TEXT -1 32 " is the partial derivative of " }{TEXT 371 1 "f" }{TEXT -1 19 " with respect to " }{TEXT 372 1 "y" }{TEXT -1 15 ". Note that " }{XPPEDIT 18 0 "f[1]; " "6#&%\"fG6#\"\"\"" }{TEXT -1 8 " and " }{XPPEDIT 18 0 "f[2];" "6# &%\"fG6#\"\"#" }{TEXT -1 33 " are constants for all points (" } {TEXT 373 1 "x" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 374 1 "y" }{TEXT -1 2 ", " } {TEXT 375 1 "z" }{TEXT -1 3 "). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 " \+ The equation " }{TEXT 376 3 "z " }{TEXT -1 6 "= -2 " }{TEXT 377 3 "x " }{TEXT -1 3 "- 3" }{TEXT 378 1 "y" }{TEXT -1 35 " + 6 satisfi es the conditions. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 273 91 "(b), (c) and (d) Graph o f the plane and the contour diagram. Describe the contour diagram." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 " Next we graph the plane and its cont ours. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "plot3d(-2*x - 3*y + 1, x = -3..3, y = -3..3, tit le = `Graph of z = -2x - 3y + 1`);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT3D 400 300 300 {PLOTDATA 3 "6%-%%GRIDG6%;$!\"$\"\"!$\"\"$F)F&X,%)anythingG6\" 6\"[gl'!%\"!!#\\bm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